4.5 Waagerechte und senkrechte Asymptoten - Teil 1, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

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  • Eine Definitionslücke ist (anders als bei einer Polstelle) behebbar, wenn der "problematische" Faktor im Nenner herausgekürzt werden kann. Zur näheren Bestimmung von Nullstellen, Polstellen und (evtl. behebbaren) Definitionslücken sollte man also wie folgt vorgehen:
    1. Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisieren
    2. Definitionsmenge bestimmen: ALLE auftretenden Faktoren im Nenner, die Null werden können, liefern eine Definitionslücke (ganz gleich, ob man sie herauskürzen kann oder nicht)
    3. Definitionslücken näher spezifizieren: behebbar, wenn herauskürzbar; ansonsten Polstelle
    4. Nullstellen bestimmen: nur solche Faktoren im Zähler, die nicht herausgekürzt werden können, liefern Nullstellen der Funktion.
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  • f
     
    x
    =
    3x
    −
    3
    x
    2
    −
    1
    x
    =
    −
    1
     
    ist eine
     
    x
    =
    0
     
    ist eine
     
    x
    =
    1
     
    ist eine
     
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Was sind Polstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen und wie verhält sich der Graph in ihrer Umgebung?
#323
Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
  • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
  • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
  • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
  • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).
Beispiel
Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.
graphik
Wie bestimmt und spezifiziert man eine Polstelle in der Mathematik?
#324
Um eine Polstelle x0 zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x0 gehen und einmal von rechts.

Beispiel: x0=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.

Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.

Beispiel
Bestimme alle auftretenden Polstellen und charakterisiere diese näher
3
2x
2
−
4x
Was versteht man unter einer behebbaren Definitionslücke?
#325
Eine Definitionslücke ist (anders als bei einer Polstelle) behebbar, wenn der "problematische" Faktor im Nenner herausgekürzt werden kann. Zur näheren Bestimmung von Nullstellen, Polstellen und (evtl. behebbaren) Definitionslücken sollte man also wie folgt vorgehen:
  1. Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisieren
  2. Definitionsmenge bestimmen: ALLE auftretenden Faktoren im Nenner, die Null werden können, liefern eine Definitionslücke (ganz gleich, ob man sie herauskürzen kann oder nicht)
  3. Definitionslücken näher spezifizieren: behebbar, wenn herauskürzbar; ansonsten Polstelle
  4. Nullstellen bestimmen: nur solche Faktoren im Zähler, die nicht herausgekürzt werden können, liefern Nullstellen der Funktion.
Beispiel
Bestimme evtl. auftretende Nullstellen und Definitionslücken und charakterisiere diese näher.
f(x)
=
4
−
6x
9x
3
−
4x
Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Koordinatenachsen?
#840
Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden. Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0. Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
  • Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
−
1
x
−
2
+
0,5
 und Definitionsmenge D = ℝ\{2}. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.