4.6 Gegenseitige Lage von Geraden - nicht parallele Geraden, Matheübungen

Hinweis: Hier findest du Übungen zu Kapitel 5 und 6. - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Bestätige, dass die Richtungsvektoren der Geraden g und h parallel sind und untersuche, ob die beiden Geraden identisch oder (echt) parallel sind.

  • g: 
    x
    =
    2
    5
    +
    t
    ·
    15
    −
    55
       h: 
    x
    =
    7
    −
    6
    +
    t
    ·
    −
    3
    11
    Beide Richtungsvektoren sind parallel, denn:
    15
    −
    55
    =
    ·
    −
    3
    11
    .
    Die Geraden g und h sind:
    Trage "p" für (echt) parallel oder "i" für identisch ein.
    Notizfeld
    Notizfeld
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Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden im Raum und wie erfolgt die rechnerische Ermittlung?
#597
Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
  • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
  • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
Beispiel
g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
     
 
h
:
X
=
1
3
−
2
+
μ
·
6
8
−
4
i
:
X
=
0
−
3
14
+
μ
·
1
−
2
1
 
     
 
k
:
X
=
−
2
3
7
+
μ
·
2
−
8
3
−
4
3
Untersuche, wie die Gerade g zu den anderen Geraden liegt.