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4.7 Faktorisierte Form, Matheübungen
- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)
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Hilfe
Beispielaufgabe
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1
und x
2
schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
x
S
= (x
1
+ x
2
) : 2
Begründung: x
S
(also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x
1
; x
2
]
y
S
= p(x
S
)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x
S
in den Funktionsterm der Parabel
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Gegeben ist die Gleichung einer Parabel, die die x-Achse an zwei Stellen x
1
und x
2
schneidet. Ermittle die Scheitelkoordinaten. Evtl. auftretende Brüche in der Form a/b angeben.
Zwischenschritte aktivieren
y
=
−
2x
2
+
2x
+
1
1
2
x
1
=
−
0,5
x
2
=
1,5
S
|
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Stoff zum Thema
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?
#436
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1
und x
2
schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
x
S
= (x
1
+ x
2
) : 2
Begründung: x
S
(also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x
1
; x
2
]
y
S
= p(x
S
)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x
S
in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
schneidet die x-Achse an den Stellen
x
1
=
−
1
und
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
Allgemeine Form:
y=ax²+bx+c
Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
Scheitelpunktform:
y=a·(x−x
S
)²+y
S
Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(x
S
|y
S
) ablesen.
Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
y=a·(x−x
1
)·(x−x
2
)
Hieraus lassen sich die Nullstellen x
1
und x
2
ablesen.
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