4.7 Faktorisierte Form, Mathe-Übungen

- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
    • xS = (x1 + x2) : 2
      Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
    • yS = p(xS)
      d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
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Gegeben ist die Gleichung einer Parabel, die die x-Achse an zwei Stellen x1 und x2 schneidet. Ermittle die Scheitelkoordinaten. Evtl. auftretende Brüche in der Form a/b angeben.

  • y
    =
    −
    2x
    2
    +
    2x
    +
    1
    1
    2
    x
    1
    =
    −
    0,5
    x
    2
    =
    1,5
    S
     
     
    |
     
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Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Die Parabel mit der Gleichung 
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
 schneidet die x-Achse an den Stellen 
x
1
=
−
1
 und 
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.