5.3 Der gerade Kreiskegel, Matheübungen

5.3 Der gerade Kreiskegel - Lehrwerk mathe.delta (5.-10. Klasse) - 51 Aufgaben in 12 Levels

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  • Hilfe zum Thema
    Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
    • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
    • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
    • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
    • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 10
  • Gesucht ist eine Oberfläche im Sachzusammenhang. Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    The Shard ist ein ca. 310m hoher Wolkenkratzer in London. Er lässt sich näherungsweise als gerade, vierseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche beschreiben. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt ca. 70m. Die Mantelfläche von The Shard ist komplett verglast. Berechne, wie viele Quadratmeter Glas insgesamt verbaut wurden, und runde das Ergebnis auf Hunderter Quadratmeter.
    Gesamte Glasfläche:  M ≈  ▉  m²
    Schritt 1 von 3
    Zur Berechnung einer der dreieckigen Seitenflächen benötigt man deren Höhe hS.
    graphik
    Wähle aus, welche der Gleichungen zur Berechnung von hS dienen kann:
     
    h
    S
    =
    h
    2
    −
    s
    2
    2
             
    h
    S
    =
    h
    +
    s
    2
     
    h
    S
    =
    h
    2
    +
    s
    2
    2
             
    h
    S
    =
    h
    2
    +
    s
    2
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Stoff zum Thema
Wie berechnet man das Volumen eines Kegels und welcher andere Körper verwendet die gleiche Formel?
#737
Das Volumen eines Kegels hängt nur von seiner Grundfläche G und seiner Höhe h ab, und zwar

V = ⅓ · G · h

Das ist die selbe Formel wie bei der Pyramide. Man kann sich den Kegel dazu als Pyramide vorstellen, deren Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck mit unendlich vielen Ecken ist.

Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels und beschreibt sein Netz?
#739

Netz und Oberflächeninhalt eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus:

  • Grundfläche G: ein Kreis mit Radius r
  • und Mantelfläche M: ergibt abgewickelt einen Kreissektor mit Kegelspitze als Mittelpunkt und Mantellinie s als Radius. Die Bogenlänge b des Kreissektors ist genauso lang wie der Umfang des Grundflächenkreises (b = 2 π · r).

Der Oberflächeninhalt O eines Kegels ist:

O = G + M = π · r2 + π · r · s

Beispiel 1
Der Radius der Kegelgrundfläche ist 0,4 cm lang. Die Länge der Mantellinie beträgt 12 mm. Berechne die Oberfläche des Kegels.
O ≈
 
?mm
2
Beispiel 2
Ein 2,5 dm hoher Kegel hat eine Grundfläche, deren Durchmesser 16 cm beträgt. Berechne die Oberfläche des Kegels.
O ≈
 
?cm
2
Wie lauten die Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kegels?
#747

Nützliche Formeln für Kegelvolumen und -oberfläche:

V = ⅓ · G · h

M = π · r · s

O = G + M = π · r2 + π · r · s

Wie berechnet man die Volumina von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln?
#770
Volumenformeln im Überblick:
  • Quader und Prisma: V = G · h
  • Pyramide: V = ⅓ G · h
  • Zylinder: V = r² π · h
  • Kegel: V = ⅓ r² π · h
Wie berechnet man die Oberflächen von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln und aus welchen Flächen setzen sie sich zusammen?
#771
Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
  • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
  • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
  • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
  • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)
Welche Werkzeuge sind in der Raumgeometrie für den Umgang mit Strecken und Winkeln wichtig?
#772
Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
  • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
  • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)