5.3 Nachweis von Extremstellen, Matheübungen

Extremstellen und Wendestellen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe

  • Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

    1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
    2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

    Randextrema:

    Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
    • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
    • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
    • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
    • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

    Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

    1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
    2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
    698

Bestimme alle lokalen und globalen Extrema der Funktion f. Gib Brüche in der Form a/b, Potenzen in der Form a^b ein. Fülle leer bleibende Felder mit "!" auf.

  • f
     
    x
    =
    2x
    3
    +
    3x
    2
    −
    36x
    Definitionsmenge IDf
    =
    [-4;5]
    Lokale Minima (nach aufsteigenden x-Koordinaten sortiert):
    f
     
    =
    f
     
    =
    Lokale Maxima (nach aufsteigenden x-Koordinaten sortiert):
    f
     
    =
    f
     
    =
    Globales Minimum:
    f
     
    =
    Globales Maximum:
    f
     
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Welche Vorzeichenverläufe kann f´ in der Umgebung einer Nullstelle bei x_0 haben und wie lassen sich diese graphisch interpretieren?
#473
Ist f in einer Umgebung von x0 differenzierbar und besitzt Gf an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente, d.h. also f ´ (x0) = 0, so befindet sich dort entweder ein Hoch-, ein Tief- oder ein Terrassenpunkt. Was genau, verrät der Vorzeichenverlauf von f ´:
  • "−,0,+" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,steigend", also Tiefpunkt (relatives Minimum von f)
  • "+,0,−" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,fallend", also Hochpunkt (relatives Maximum von f)
  • "−,0,−" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,fallend", also Terrassenpunkt
  • "+,0,+" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,steigend", also ebenfalls Terrassenpunkt
Beispiel
Bestimme für die in ganz ℝ definierte ganzrationale Funktion f mit 
f
 
x
=
2x
3
−
3x
2
−
1
 sämtliche Extrempunkte mithilfe des Vorzeichwechselkriteriums der ersten Ableitung.
Wie bestimmt man rechnerisch lokale Maxima und Minima einer Funktion?
#698

Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

  1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
  2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Randextrema:

Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
  • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
  • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

  1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
  2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
698