5.6 Natürliche Logarithmusfunktion, Matheübungen

Untersuchung von Funktionen − Quotientenregel, Umkehrfunktion - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 46 Aufgaben in 10 Levels

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    Rechenregeln für den Logarithmus

    Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

    (1) logb x + logb y = logb (x · y)

    (2) logb x − logb y = logb (x : y)

    Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!

    Ist das Argument des Logarithmus eine Potenz, so lässt sich umformen:

    (3) logb ar = r · logb a

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Forme so um, dass möglichst kleine natürliche Argumente entstehen.
    • ln6
    =
         
     
    ln2
    +
    ln3
         
     
    ln2
    ·
    ln3
         
     
    ln
    1
    +
    ln5
         
     
    ln
    1
    ·
    ln5
    (Mehrfachauswahl möglich)
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Stoff zum Thema (+Video)
Welche grundlegenden Rechenregeln gelten für Logarithmen?
#1232

Rechenregeln für den Logarithmus

Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:

(1) logb x + logb y = logb (x · y)

(2) logb x − logb y = logb (x : y)

Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!

Ist das Argument des Logarithmus eine Potenz, so lässt sich umformen:

(3) logb ar = r · logb a

Wie lauten die Ableitungen der Exponentialfunktion und der natürlichen Logarithmusfunktion?
#518
f (x) = ex ⇒ f ´ (x) = ex
f (x) = ln(x) ⇒ f ´ (x) =1/x
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel
f
 
x
=
x
·
cos
ln(x)
f '
 
x
=
?
Wie lauten die Produkt- und Quotientenregel der Ableitung?
#652
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
  • für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
Beispiel
lim
x → ∞
    
ln
 
1
x
x
−
x
2
=
?
Wie verhält sich die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
#552
ln(x) strebt
  • gegen −∞ für x → 0+
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → −∞
    
ln
 
1
−
x
2
x
+
1
=
?
Wie kann eine Funktion f(x) abgewandelt werden, um ihren Graphen Gf zu strecken, stauchen, verschieben oder zu spiegeln?
#488
h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Wie löst man Gleichungen der Form ln(...) = b und was ergibt sich, wenn b = 0?
#860
Gleichungen der Art

ln(...)=b

löst man, indem man auf beiden Seiten exp anwendet. Merke dir für den Spezialfall b=0, dass

e0=1.

Beispiel
Löse die Gleichung
ln
 
3
−
11x
=
0
 
ohne Taschenrechner.