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6.2 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung, Matheübungen
Wurzelfunktion - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)
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Beispielaufgabe
Kettenregel
:
Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f
′
(x) = g
′
( h(x) )⋅h
′
(x)
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme die Ableitung und vereinfache diese. Gib x-Potenzen in der Form x^n und Brüche in der Form a/b ein.
Zwischenschritte aktivieren
f
x
=
4x
−
2x
3
f ´
x
=
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Stoff zum Thema
Eine Funktion mit der Gleichung y = x
r
, r∈ℚ, heißt Potenzfunktion. Ihre maximale Definitionsmenge hängt vom Exponenten r ab.
Ist r negativ, so lässt sich die Potenz in einen Bruch umwandeln und damit scheidet "x=0" aus (denn der Nenner darf nicht Null sein).
Ist r= p/q ein Bruch und keine ganze Zahl, so lässt sich die Potenz in eine Wurzel umwandeln und damit scheidet "x<0" aus (denn die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert).
Potenzfunktionen f mit dem Funktionsterm f(x) = x
r
, r∈ℚ, können graphisch ganz unterschiedlich aussehen. Grob lassen sich drei Klassen unterscheiden:
r<0: der Graph ähnelt der Hyperbel mit der Gleichung y=1/x. Prägnante Erkennungsmerkmale: die Koordinatenachsen als Asymptoten. Je größer |r| (also der Betrag von r), desto schneller nähert sich der Graph der x-Achse an. Ansonsten ist zu unterscheiden, ob r eine ganze Zahl ist oder nicht. Falls nicht, so ist der Graph nur rechts von der y-Achse definiert. Andernfalls ist die Hyperbel symmetrisch zur y-Achse (r gerade) bzw. zum Ursprung (r ungerade).
0<r<1: ähnlich dem Graph der Wurzelfunktion y = √x. Prägnante Erkennungsmerkmale: nur für x≥0 definiert, streng monoton steigend, für große x ins Unendliche wachsend, aber mit nachlassender Steigung. Je größer |r|, desto schneller geht der Graph für große x-Werte nach oben.
r>1: ähnlich der Normalparabel y=x², allerdings nur für x≥0 definiert - es sei denn, r ist eine natürliche Zahl: in diesem Fall symmetrisch zur y-Achse, falls r gerade bzw. zum Ursprung, falls r ungerade. Auch hier gilt: Je größer |r|, desto schneller geht der Graph für große x-Werte nach oben.
Wenn f(x) = a · x
r
mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · r · x
r−1
.
Beispiel 1
f(x)
=
4
x
9
6
f´(x)
=
?
Beispiel 2
f
x
=
1
4
·
x
1
3
+
7x
−
2
+
2
3
f '
x
=
?
Beispiel 3
f
x
=
3
x
−
5
3
x
2
+
7
x
2
f '
x
=
?
Kettenregel
:
Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f
′
(x) = g
′
( h(x) )⋅h
′
(x)
Beispiel 1
f
x
=
2x
2
−
8x
f ´
x
=
?
Beispiel 2
f
x
=
1
−
3x
·
sin
x
f '
x
=
?
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