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6.GFS-Thema: Gleichung einer Schnittgeraden von Ebenen bestimmen, Mathe-Übungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer
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Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 12.
Beispielaufgabe
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Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
Setze z.B. x
1
= λ.
Löse z.B. die Gleichung von E nach x
2
auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x
3
= ....λ....
Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x
2
=...λ...
Schreibe die Ergebnisse für x
1
, x
2
und x
3
untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Lagebeziehung Ebene - Ebene, beide in Normalenform.
Zwischenschritte aktivieren
Gegeben sind zwei Ebenen:
E:
x
1
+
3x
2
−
x
3
+
1
=
0
F:
x
1
−
x
2
+
x
3
−
5
=
0
Bestimme die Schnittgerade s von E und F.
s:
X
=
0
+
λ
·
1
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Stoff zum Thema (+Video)
Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
Setze z.B. x
1
= λ.
Löse z.B. die Gleichung von E nach x
2
auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x
3
= ....λ....
Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x
2
=...λ...
Schreibe die Ergebnisse für x
1
, x
2
und x
3
untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
E
:
x
1
−
2x
3
+
3x
3
−
5
=
0
F
:
2x
1
−
2x
2
+
x
3
−
1
=
0
G
:
−
3x
1
+
6x
2
−
9x
3
+
10
=
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
Setze F in E ein, d.h. ersetze x
1
, x
2
und x
3
in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
1
0
2
+
μ
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
2
−
3
1
+
μ
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
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