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7.6 Anwendungen des Vektorprodukts, Mathe-Übungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer
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Überlege, wie oft der abgebildete Körper in einen geeigneten Spat hineinpasst.
Beispielaufgabe
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Berechne das Volumen des skizzierten Körpers. Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" eingeben.
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Stoff zum Thema
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren
a
,
b
und
c
aufgespannten Prismas mit
a
=
1
2
−
1
,
b
=
2
−
3
5
und
c
=
2
0
3
.
Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen V
Spat
zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
Vierseitiges Prisma = Spat (V
4-stg.Prisma
= V
Spat
)
Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V
3-stg.Prisma
= ½ V
Spat
)
Vierseitige Pyramide (V
4-stg.Pyr
= 1/3 V
Spat
)
Dreiseitige Pyramide (V
3-stg.Pyr
= 1/6 V
Spat
)
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