Ableitung - mittlere/lokale Änderungsrate, Differenzenquotient, Matheübungen

Rechnerische und graphische Bestimmung von mittlerer und lokaler Änderungsrate; Zusammenhang zwischen f und f´ anhand von Graphen; Untersuchung von abschnittsweise definierten Funktionen und Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

    [ f(a+h) − f(a) ] / h

    für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
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Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.

  • f(x)
    =
    2
    3
    −
    x
    ;
    a
    =
    1
    Änderungsrate
    =
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Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion und welcher synonyme Begriff ist dafür gebräuchlich?
#396
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?
Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?
#397
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Wie bestimmt man die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0 mit Differenzenquotienten?
#844

Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x0) ] / (x − x0)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x0 annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x0.

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotienten und der lokalen Änderungsrate?
#640
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.
f(x)
=
2
x
−
x
;
a
=
−
2
Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?
#400

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel
graphik
In welchen Intervallen gilt 
f
 
x
 
> 0,
   
f
 
x
 
< 0,
   
f ´
 
x
 
> 0,
   
f ´
 
x
 
< 0?
An welchen Stellen gilt 
f
 
x
=
0,
   
f ´
 
x
=
0?
Wie erkennt man graphisch, dass eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist?
#1120
Wenn f an der Stelle x0 differenzierbar ist, so hat Gf dort eine eindeutige Tangente. Weist Gf also an einer Stelle einen Knick oder einen Sprung auf, so kann f dort nicht differenzierbar sein. Ist f an einer Stelle nicht stetig (Sprung), so kann f dort also auch nicht differenzierbar sein.
Wie kann man einen von Betragsstrichen umgebenen Term betragsfrei schreiben?
#1121
Um einen Term | T(x) | betragsfrei zu schreiben, gehe wie folgt vor:
  1. Ermittle den Bereich, in dem der zugehörige Graph oberhalb oder auf der x-Achse liegt. Wenn kein Graph gegeben ist, löse dazu die Ungleichung T(x) ≥ 0.
  2. Im ermittelten Bereich kann | T(x) | durch T(x) ersetzt werden, d.h. die Betragsstriche können hier einfach weggelassen werden.
  3. Im restlichen Bereich muss anstelle der Betragsstriche ein Minuszeichen vor den umklammerten Term gesetzt werden.
Beispiel
Schreibe den Term 
4
−
9x
 betragsfrei.
Besitzt der Differenzenquotient

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.