Ableitung - Potenzfunktion - ganzzahliger Exponent, Matheübungen

Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponent und ganzrationalen Funktionen (Summen- und Faktorregel); betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern - G8 Lehrplan - 26 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
    f ′(x) = a · m · x m−1.

    Spezialfälle:

    • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
    • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Bestimme den Ableitungsterm.
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    • f
     
    x
    =
    2
    x
    f ´
     
    x
    =
     ▉ 
    x
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 3
    Forme um:
    f
     
    x
    =
    ·
    x
Beispiel
Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
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Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Was folgt für die Ableitung und jede Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad und negativem Leitkoeffizienten?
#845
Die Ableitung von a·xn ist a·n·xn−1. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
  • Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
  • Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
−
x
4
−
x
5
+
4x
 
+
 
x
+
 
1
−
 
1
graphik
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
2x
f ´
 
x
=
?