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Ableitung - Potenzfunktion, Matheübungen
Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten, verbunden mit Summen- und Faktorregel - Lehrplan für 12. Klasse
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Beispielaufgabe
Die Ableitung von a·x
n
ist a·n·x
n−1
. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f.
Zwischenschritte aktivieren
Welcher Term könnte zur Ableitung f´ gehören?
4x
?
2
3
4
?
−3
+3
−4x
+4x
Notizfeld
Notizfeld
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Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
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Ableitung von x^n
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Ableitung von x^n - Beweis
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Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · x
m
mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · m · x
m−1
.
Spezialfälle:
f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0
Beispiel
f
x
=
1
2x
10
f ´
x
=
?
Was folgt für die Ableitung und jede Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad und negativem Leitkoeffizienten?
#845
Die Ableitung von a·x
n
ist a·n·x
n−1
. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
−
x
4
−
x
5
+
4x
+
x
+
1
−
1
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
x
=
?
Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = a · x^r?
#341
Wenn f(x) = a · x
r
mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f
′
(x) = a · r · x
r−1
.
Beispiel 1
f(x)
=
4
x
9
6
f´(x)
=
?
Beispiel 2
f
x
=
1
4
·
x
1
3
+
7x
−
2
+
2
3
f '
x
=
?
Beispiel 3
f
x
=
3
x
−
5
3
x
2
+
7
x
2
f '
x
=
?
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