Ableitung - Produkt- und Quotientenregel, Matheübungen

Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen - 70 Aufgaben in 17 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Produkt-/Quotientenregel und Kettenregel kombiniert: Schreibe dir zunächst noch einmal die Ableitungsregeln für die Ableitung verketteter Funktionen und für die Ableitung von Quotienten oder Produkten auf. Ordne dann die entsprechenden Funktionsteile zu.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Kettenregel:

    Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 2 in Level 14
  • Gib die Ableitungsfunktion an. Achtung: es können mehrere Lösungen richtig sein!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • f
     
    x
    =
    cos
    2
    x
    x
    2
    f ´
     
    x
    =
     ▉ 
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    3
     ▉ 
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    4
     ▉ 
     
    −
    2x
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    3
     ▉ 
     
    −
    sin
    2
    x
    ·
    x
    2
    −
    cos
    2
    x
    ·
    2x
    x
    4
    Schritt 1 von 2
    Aus welchen Faktoren setzt sich die Ableitung des Zählerterms 
    cos
    2
     
    x
     zusammen?
     
    −
    2
       
     
    2
       
     
    sin
    x
       
     
    sin
    2
    x
       
     
    cos
    x
       
     
    cos
    2
     
    x
  • keine Berechtigung
Beispiel
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Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Beispiel
f
 
x
=
−
x
2
·
sin(x)
f '
 
x
=
?
Wie lauten die Produkt- und Quotientenregel der Ableitung?
#652
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Was besagt die Quotientenregel in der Differentialrechnung?
#331
Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
e
x
+
x
x
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
cos
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
cos
2
x
3x
f ´
 
x
=
?
Beispiel 3
f
 
x
=
1
−
3x
·
sin
x
f '
 
x
=
?
Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
2x
f ´
 
x
=
?

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