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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Gemäß dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche eines beliebigen Dreiecks:

    A = 0,5 · a · b · sin(γ) = 0,5 · a · c · sin(β) = 0,5 · b · c · sin(α)

    Man benötigt für die Flächenbestimmung also die Längen zweier (beliebiger) Seiten und deren Zwischenwinkel.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Verwende hierzu den erweiterten Sinussatz.

Skizze:
 
graphik
A:
 
      
 
15,85
 
    
 
17,54
 
    
 
18,32
 
    
 
25,17
  • Nebenrechnung

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Gemäß dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche eines beliebigen Dreiecks:

A = 0,5 · a · b · sin(γ) = 0,5 · a · c · sin(β) = 0,5 · b · c · sin(α)

Man benötigt für die Flächenbestimmung also die Längen zweier (beliebiger) Seiten und deren Zwischenwinkel.
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Kosinussatz gilt:

a² = b² + c² − 2bc · cos(α)

b² = a² + c² − 2ac · cos(β)

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Am besten, man merkt sich den Satz so:

"(beliebige) Seite zum Quadrat = Summe der anderen beiden Seitenquadrate minus 2 mal Produkt dieser Seiten mal cos vom Zwischenwinkel"

Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

In Sachaufgaben kannst du folgendermaßen vorgehen:

1. Suche in der Figur nach Dreiecken mit mindestens drei gegebenen Stücken. (Tipp: Markiere in einer Skizze die gegebenen Stücke grün und die gesuchten Stücke rot.)

2. Je nach Art der gegebenen Stücke kannst du nun den Sinus- oder den Kosinussatz verwenden:

  • Eine Strecke und zwei Winkel gegeben: Der dritte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme, die fehlenden Strecken aus dem Sinussatz.
  • Zwei Strecken und der Zwischenwinkel gegeben: Die dritte Strecke ergibt sich aus dem Kosinussatz, die fehlenden Winkel aus dem Sinussatz.
  • Zwei Strecken und ein anderer Winkel gegeben: Die weiteren Winkel ergeben sich aus dem Sinussatz und der Winkelsumme, die fehlende Strecke aus dem Kosinussatz.
  • Drei Strecken gegeben: Ein Winkel kann mit dem Kosinussatz berechnet werden, die restlichen mit dem Sinussatz bzw. aus der Winkelsumme.
Tipp: In rechtwinkligen Dreiecken werden Sinus- und Kosinussatz nicht benötigt, da du einfacher mit dem Sinus, Kosinus und Tangens bzw. dem Satz von Pythagoras arbeiten kannst.