Koordinatengeometrie im Raum - Geraden - Matheaufgaben

Geradengleichung in Parameterform, parallele und senkrechte Geraden, Punkt auf Gerade, Spurpunkte, Verlauf durch Oktanden, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage von zwei Geraden

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  • Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.

Kreuze an, wenn der Punkt auf der Geraden g liegt.

g
:
X
=
2
2
0
+
μ
·
2
−
5
1
 
P(1|-3|5) ∈ g
 
Q(-2|12|-2) ∈ g
  • Nebenrechnung
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Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.
Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
.
Prüfe, ob die Punkte P(-1|3|5) und Q(3|-5|2) auf g liegen.
Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.
  • A oder B als Aufpunkt und
  • den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.
Beispiel
Gib die Gerade g = AB in Parameterform an mit A(1|-1|2) und B(-2|5|5).
Um den evtl. Schnittpunkt (Spurpunkt) einer Geraden mit der x1x2-Ebene zu bestimmen, muss man innerhalb der Geradengleichung (Parameterform) x3 = 0 setzen.

Entsprechend setzt man x1 = 0, um den Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene zu bestimmen und x2 = 0 für den Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene.

Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1,5
−
1,5
1
+
μ
·
−
1
3
2
 
.
Bestimme sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
  • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
  • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Geraden:
g
:
X
=
2
3
−
4
+
μ
·
1
0
−
4
k
:
X
=
1
−
2
3
+
μ
·
0
0
3
 
     
 
h
:
X
=
μ
·
1
1
1
l
:
X
=
μ
·
0
1
1
 
     
 
i
:
X
=
μ
·
1
3
0
m
:
X
=
μ
·
2
7
9
Eine Geradengleichung lässt sich auch dann aufstellen, wenn keine festen Koordinaten vorgegeben sind. Alle weiteren Rechnungen erfolgen dann mit Hilfe der verwendeten Platzhalter (Buchstaben).
Beispiel
Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte A, B, C und S (siehe Skizze). D und E sind Seitenmitten.
  1. Bestimme für die Gerade DE eine Gleichung in Parameterform, wobei diese nur mit A, B, C und S ausgedrückt werden soll.
  2. Zeige, dass DE parallel zur Grundfläche der Pyramide verläuft.
Der Strahlensatz soll bei dieser Aufgabe NICHT angwandt werden.
Skizze:
 
graphik
Um zu ermitteln, durch welche Oktanden eine Gerade verläuft, sollten zunächst die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) bestimmt werden.
Beispiel
Durch welche Oktanden verläuft die Gerade
 
g
:
X
=
1
5
0
+
μ
·
2
3
−
4
 
?