Stochastik - Testen von Hypothesen - Mathematikaufgaben

Nullhypothe und Gegenhypothese, Annahme- und Ablehnungsbereich, Fehler 1. und 2. Art, einseitiger Signifikanztest

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

  • Aus der Tabelle "Binomialverteilung kumulativ" können Wahrscheinlichkeiten der Art P( Z ≤ k ) abgelesen werden. Um P( Z > k ) zu bestimmen, liest man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" ab und zieht diesen dann von 1 ab.

    Mit dem GTR lässt sich die kumulative Wahrscheinlichkeit P( Z ≤ k ) bei gegebener Stichprobenlänge n und Trefferwahrscheinlichkeit p durch folgenden Befehl bestimmen: binomcdf (n , p , k)

Bestimme mit Hilfe der "kumulativen Binomialverteilung". Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 3. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • n
    =
    100
    ;
    p
    =
    0,25
    P
     
    30 ≤ X ≤ 100
     
    ≈
     
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Testen von Hypothesen, Signifikanztest

Aus der Tabelle "Binomialverteilung kumulativ" können Wahrscheinlichkeiten der Art P( Z ≤ k ) abgelesen werden. Um P( Z > k ) zu bestimmen, liest man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" ab und zieht diesen dann von 1 ab.

Mit dem GTR lässt sich die kumulative Wahrscheinlichkeit P( Z ≤ k ) bei gegebener Stichprobenlänge n und Trefferwahrscheinlichkeit p durch folgenden Befehl bestimmen: binomcdf (n , p , k)

Beispiel
n
=
150; p
=
0,3
P
 
X ≥ 50
 ≈ ▇

Zweiseitiger Signifikanztest

Eine Nullhypothese H0: p=p0 wird getestet.

  • Der Annahmebereich liegt symmetrisch um den Erwartungswert.
  • Das Signifikanzniveau α legt die Größe des Annahmebereichs fest.
  • Überschlagsmäßig kann der Annahmebereich mit den Sigma-Regeln bestimmt werden.

Das Gegenteil der Nullhypothese wird als Alternative H1 bezeichnet.

Unter der Irrtumswahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs.

Beispiel
H0:
 
p
=
1
2
;
 
H1: p ≠
 
1
2
;
 
n
=
100
Bestimme für das Signifikanzniveau α = 5% den Annahmebereich zunächst überschlagsmäßig und anschließend genau. Bestimme auch die Irrtumswahrscheinlichkeit.
  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β´): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ K), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n
=
30
H
0
:
p
 
≥
 
0,1
 
     
 
K
=
{2; 3;...; 30}
H
1
:
p
<
0,1
 
     
 
K
=
{0; 1}
Das Risiko erster Art ist umso kleiner, je größer der Annahmebereich K der Nullhypothese gewählt wird.
Beim einseitigen Signifikanztest wird für das Risiko erster Art eine Schranke (Signifikanzniveau, z.B. 5%) vorgegeben. Annahme- und Ablehungsbereich der Nullhypothese (=Entscheidungsregel) sind dann also so zu bestimmen, dass diese Schranke (gerade noch) eingehalten wird.
Beispiel
H
0
:
p
 
≤
 
1
3
;
H
1
:
p
>
1
3
;
n
=
40
Gib einen möglichst großen Ablehnungsbereich der Nullhypothese für das Signifikanzniveau von 1% an.
Beachte bei der Formulierung von Null- und Gegenhypothese sowie Annahme- und Ablehungsbereich der Nullhypothese:
  • H0 lautet "p =", "p ≤" oder "p ≥" ("=" kommt vor).
  • H1 lautet dagegen "p >", "p <" oder "p ≠" ("=" kommt nicht vor, außer beim Alternativtest).
  • Zur Hypothese "p >" (ebenso "p ≥") passt der Bereich Z > k (ebenso Z ≥ k)
  • Annahme- und Ablehungsbereich decken zusammen den Stichprobenumfang ab und dürfen sich nicht überschneiden.
Beispiel
Ein Würfel ist angeblich gezinkt und bringt Augenzahl 6 deutlich häufiger hervor als alle anderen Augenzahlen. Dies soll durch 60 Würfe getestet werden. Fällt dabei "Augenzahl 6" mehr als 15 mal, so gilt der Verdacht als bestätigt. Formuliere H0 und H1 sowie Annahme und Ablehungsbereich der Nullhypothese.