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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Die Schnitt- und Berührpunkte (gemeinsame Punkte) zweier Graphen Gf und Gg ermittelt man durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme, also f(x) = g(x). Setze die Lösung der Gleichung in f(x) oder g(x) ein, um den zugehörigen y-Wert zu ermitteln.

    Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.

Berechne die gemeinsamen Punkte beider Graphen und überprüfe an der Zeichnung! Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

graphik
p
x
=
x
2
2x
+
2
g
 
x
=
1
2
 
x
+
3
A
 
 
|
 
B
 
 
|
 
Beachte: Zwischenergebnisse NICHT runden, sondern mit Tachenrechnergenauigkeit (ANS-Taste) weiterrechnen - sonst kommst du zu falschen Ergebnissen!
  • Nebenrechnung

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Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Nullform ax² + bx + c = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = b² − 4ac bekommt man die Antwort:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Beispiel
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar 
g
m
 durch
p
x
=
1
2
 
x
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.

Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = (p/2)² − q bekommt man die Antwort:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Beispiel
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar 
g
m
 durch
p
x
=
1
2
 
x
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.
Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
0,5x
2
1
=
1,5x
2

Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.

Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Die Schnitt- und Berührpunkte (gemeinsame Punkte) zweier Graphen Gf und Gg ermittelt man durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme, also f(x) = g(x). Setze die Lösung der Gleichung in f(x) oder g(x) ein, um den zugehörigen y-Wert zu ermitteln.

Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.

Beispiel
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar gm durch
p
x
=
1
2
 
x
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.