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Ähnlichkeit - Aufgaben
Überprüfung von Ähnlichkeit (auch mit Hilfe von Vektoren), Berechnung an ähnlichen Dreiecken
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Ähnliche Dreiecke stimmen in allen Winkelmaßen und Seiten
verhältnissen
überein. Eine Zeichnung kann helfen.
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Überprüfe, ob die Dreiecke ABC und A'B'C' ähnlich zueinander sind. Fülle dann den Lückentext aus.
A(0|1),
B(2|1),
C(0|3);
A'(2|3),
B'(4|3),
C'(2|5);
Die Dreiecke ABC und
A'B'C'
sind
?
ähnlich
nicht ähnlich
weil ABC
?
parallelverschoben
am Ursprung gespiegelt
zentrisch gestreckt
verzerrt
wurde zum Bilddreieck
A'B'C'
.
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Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
'
=
?
β
'
=
?
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.
Ähnlich
sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.
im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
in zwei Winkeln (W:W-Satz)
in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.
Beispiel
Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit
γ
=
45°,
a
=
1,
b
=
2,
δ
=
45°,
d
=
4,
e
=
2.
Sind beide Dreiecke ähnlich und wenn ja nach welchem Satz?
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