Quadratische Funktionen - Parameter mittels Gleichungssystem bestimmen - Aufgaben

Durch vorgegebene Punkte oder anhand der gezeichneten Parabel sind a, b und c mittels Geichungssystem zu bestimmen.

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Quersumme der gesuchten Zahl lautet 18.
  • Entnimm dem Text Informationen über die Nullstellen oder den Scheitelpunkt und bestimmte fehlende Parameter durch Einsetzen eines Punkts, der auf der Parabel liegt.
  • Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
    • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
    • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
    • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.

Bestimme möglichst geschickt einen Term für die Parabel und beantworte die Frage im Sachzusammenhang.

  • Eine Hängebrücke hat zwei Pfeiler, die jeweils 250m über die Straßenebene hinausragen und einen Abstand von 1200m besitzen. Die Haupttragseile, die an den Spitzen der Pfeiler aufgehängt sind, verlaufen in etwa parabelförmig. Im Abstand von jeweils 100m sind senkrechte Tragseile gespannt, die die Straße tragen und "Hänger" genannt werden. Die längsten Hänger sind 100m von den Pfeilern entfernt, die kürzesten Hänger besitzen eine Länge von 50m. Bestimme die Länge der längsten Hänger auf ganze Meter gerundet.
    In der Abbildung der Brücke ist ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 100m so ergänzt, dass die x-Achse der Straßenebene und ein Teil der y-Achse dem linken Pfeiler entspricht:
    graphik
    Der zu den Stahlseilen in diesem Koordinatensystem passende Funktionsterm lautet:
    f(x)
    =
     
     
    ·
    x
    −
    2
     
    +
     
    Die längsten Hänger besitzen eine Länge von ca. Metern.
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Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c. Gibt man zwei Punkte auf dem Graphen (Schaubild) der Funktion und einen der Parameterwerte a, b oder c vor, lässt sich die Funktionsgleichung bestimmen.

Durch das Einsetzen der zwei Punkte und des Parameterwerts in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.

Beispiel
Bestimme die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A und B verläuft.
A
 
2
 
|
 
8
B
 
−
1
 
|
 
1
p:y
=
ax
2
+
bx
+
9
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
Eine Parabel lässt sich durch drei geeignete Punkte eindeutig festlegen. Durch das Einsetzen der drei Punkte in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b und c. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Parabel durch folgende Punkte:
A
 
2
 
|
 
1
;
    
B
 
−
3
 
|
 
2
;
    
C
 
1
 
|
 
−
5