Differentialgleichungen, Matheaufgaben

Lösungsüberprüfung bei Differentialgleichungen und beim Ermitteln spezieller Lösungen, Lösen separierbarer Differentialgleichungen

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Lösungsüberprüfung bei Differentialgleichungen und beim Ermitteln spezieller Lösungen.

Das Gesetz der Newtonschen Abkühlung beschreibt die Änderung der Temperatur eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei ist die Änderungsrate der Temperatur proportional zur Differenz der momentanen Objekttemperatur $T$ und der Umgebungstemperatur $U$. Das heißt, die DGL dieser Abkühlung lautet:

$\frac{{dT}}{{dt}} = -k \cdot (T - U),~~mit ~~k∈ℝ^+$

weil $(T-U)>0 ~$ gilt und die Änderung negativ ist, da der Körper abkühlt.

Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen die DGL lösen. T₀ steht dabei für die Anfangstemperatur des Objekts.

Wenn Sie die richtige Gleichung gefunden haben, berechnen Sie den Wert von k auf drei Dezimalen genau, wenn die Temperatur nach 40min auf die Hälfte abgenommen hat und $T_0=60°C$ und $U=20°C~$ist.

$T(t) = U + (T_0 - U) \cdot e^{-k \cdot t}$
$T(t) = (T_0 - U) \cdot e^{-k \cdot t}$

$k=0,035$
$k=0,053$

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Wie überprüft man, ob eine Funktion eine Lösung einer DGL ist?

#1331

Möchte man die Richtigkeit einer DGL überprüfen, muss man einfach nur die vorgegebene Funktion und ihre Ableitungen in die DGL einsetzen und die Richtigkeit durch algebraische Überlegungen nachweisen. Hat die DGL zwei von 0 verschieden Seiten, empfiehlt es sich, diese hintereinander umzuformen.

Beispiel

Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung lautet nach Teilen durch m: $$ y\,'' + \frac{D}{m}·y = 0 $$

Zeigen Sie, dass die allgemeine Sinusfunktion eine Lösung ist

Was ist eine separierbare Differentialgleichung und wie wird sie gelöst?

#1332

Eine separierbare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die in der Form $$ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) $$ geschrieben werden kann, wobei $g(x)$ eine Funktion von $x$ und $h(y)$ eine Funktion von $y$ ist. Diese Gleichungen können durch Trennung der Variablen gelöst werden, was bedeutet, dass wir die Terme, die von $y$ abhängen, auf eine Seite der Gleichung und die Terme, die von $x$ abhängen, auf die andere Seite bringen.

Beispiel einer separierbaren Differentialgleichung: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$

Beispiel

1. Löse die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.

2. Bestimme die allgemeine Lösung.

$$ \frac{dy}{dx} = y(1 - y)= y\,' $$