Differentialgleichungen, Matheaufgaben

Lösungsüberprüfung bei Differentialgleichungen und beim Ermitteln spezieller Lösungen, Lösen separierbarer Differentialgleichungen - 7 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Da es um eine Abkühlung geht, muss T > U gelten.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Lösen Sie die DGL erst allgemein und ermitteln Sie dann eine spezielle Lösung. Lösen Sie Schritt für Schritt.
    • Das Gesetz der Newtonschen Abkühlung beschreibt die Änderung der Temperatur eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei ist die Änderungsrate der Temperatur proportional zur Differenz der momentanen Objekttemperatur \(T\) und der Umgebungstemperatur \(U\).
    Schritt 1 von 4
    Stellen Sie zunächst eine geeignete Differentialgleichung für das Problem auf und kreuzen Sie die richtige Lösung an:

    \(\frac{{dT}}{{dt}} = -k \cdot (T - U),~~mit ~~k∈ℝ\)
    \(\frac{{dT}}{{dt}} = -k \cdot T,~~~~~~~~~~~~mit ~~k∈ℝ^+\)
    \(\frac{{dT}}{{dt}} = -k \cdot (U - T),~~mit ~~k∈ℝ\)
    \(\frac{{dT}}{{dt}} = -k \cdot (T - U),~~mit ~~k∈ℝ^+\)
  • keine Berechtigung
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Lösung
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Stoff zum Thema
Wie überprüft man, ob eine Funktion eine Lösung einer DGL ist?
#1331
Möchte man die Richtigkeit einer DGL überprüfen, muss man einfach nur die vorgegebene Funktion und ihre Ableitungen in die DGL einsetzen und die Richtigkeit durch algebraische Überlegungen nachweisen. Hat die DGL zwei von 0 verschieden Seiten, empfiehlt es sich, diese hintereinander umzuformen.
Beispiel
Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung lautet nach Teilen durch m: $$ y\,'' + \frac{D}{m}·y = 0 $$

Zeigen Sie, dass die allgemeine Sinusfunktion eine Lösung ist

Was ist eine separierbare Differentialgleichung und wie wird sie gelöst?
#1332
Eine separierbare Differentialgleichung ist eine Art von Differentialgleichung, die in der Form $$ \frac{dy}{dx} = g(x) h(y) $$ geschrieben werden kann, wobei \(g(x)\) eine Funktion von \(x\) und \(h(y)\) eine Funktion von \(y\) ist. Diese Gleichungen können durch Trennung der Variablen gelöst werden, was bedeutet, dass wir die Terme, die von \(y\) abhängen, auf eine Seite der Gleichung und die Terme, die von \(x\) abhängen, auf die andere Seite bringen.

Beispiel einer separierbaren Differentialgleichung: $$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \sin(x) $$
Beispiel
1. Löse die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.

2. Bestimme die allgemeine Lösung.

$$ \frac{dy}{dx} = y(1 - y)= y\,' $$