Eigenschaften von Funktionen - Stetigkeit, Matheübungen

Begriff verdeutlichen, abschnittweise definierte Funktion auf Stetigkeit überprüfen bzw. so ergänzen, dass sie stetig ist - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

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  • Funktionen können auch durch mehrere Funktionsterme definiert sein, die jeweils in bestimmten Abschnitten der Gesamtdefinitionsmenge gelten. Man spricht von abschnittsweise definierten Funktionen.

    Bei solchen Funktionen können an den Nahtstellen, also dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen, Unstetigkeitsstellen auftreten. Um die Funktion an einer Nahtstelle auf Stetigkeit zu überprüfen, setzt man diese in die Funktionsterme der beiden angrenzenden Abschnitte ein. Ergeben sich unterschiedliche Termwerte, so liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Ansonsten ist die Funktion dort stetig.

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Ergänze zu einer in ganz ℝ definierten stetigen Funktion.

  • f
     
    x
    =
    x
    −
    3
        
        
     
     
     
    für x
     
    ≤
     
    2x
    +
    1
        
        
     
    für
     
     
    <
     
    x
     
    <
     
    5
    −
    3x
    +
        
     
    für x
     
    ≥
     
    5
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Was bedeutet es, wenn eine Funktion als stetig oder unstetig bezeichnet wird, und was ist ein Beispiel für eine unstetige Funktion?
#1055
Die Graphen mancher Funktionen weisen an bestimmten Stellen ihrer Definitionsmenge Sprünge auf. Man nennt die Funktion dann an solchen Stellen unstetig (ansonsten stetig). Ist eine Funktion an jeder definierten Stelle stetig, so nennt man sie (insgesamt) stetig.

Bei den bisher behandelten Funktionstypen (ganzrational, gebrochen-rational, exponentiell, trigonometrisch) handelt es sich um stetige Funktionen. Dagegen ist z.B. die Rundungsfunktion, die jeder reellen Zahl den auf Ganze gerundeten Wert zuordnet, nicht stetig (siehe Abbildung).

Erläuterung: "Knödel" und "Kringel" verdeutlichen, ob der jew. Punkt zum Graphen G gehört oder nicht. Z.B. gilt (0,5|0) ∉ G, aber (0,5|1) ∈ G (weil bei 0,5 auf 1 aufgerundet wird).

Was versteht man unter einer abschnittweise definierten Funktion und wie prüft man ihre Stetigkeit?
#1056
Funktionen können auch durch mehrere Funktionsterme definiert sein, die jeweils in bestimmten Abschnitten der Gesamtdefinitionsmenge gelten. Man spricht von abschnittsweise definierten Funktionen.

Bei solchen Funktionen können an den Nahtstellen, also dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen, Unstetigkeitsstellen auftreten. Um die Funktion an einer Nahtstelle auf Stetigkeit zu überprüfen, setzt man diese in die Funktionsterme der beiden angrenzenden Abschnitte ein. Ergeben sich unterschiedliche Termwerte, so liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Ansonsten ist die Funktion dort stetig.

Beispiel 1
Überprüfe auf Stetigkeit.
f
 
x
=
−
3x
+
1
7
    
 
 
für x
 
<
 
−
4
1
x
−
3
+
2
    
für
−
4
 
≤
 
x
 
<
 
3
x
2
−
9
    
    
 
 
für x
 
≥
 
3
Beispiel 2
Ergänze zu einer in ganz ℝ definierten stetigen Funktion.
f
 
x
=
x
3
−
x
    
    
für x
 
≤
 
▇
2x
2
+
2x
    
für
 
▇
 
<
 
x
 
≤
 
0
▇
x
+
1
+
2
    
für x
 
>
 
0