Was sind stochastische Matrizen und wie werden sie verwendet?
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Stochastische Matrizen
Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.
Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.
Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:
- U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
- In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
- In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
- Summe der Spalteneinträge von U ist 1.
Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen A, B und C ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
Interpretiere die Matrixeinträge in der Form:
? % BLEIBEN im Zustand ?.
bzw. ? % wechseln VON Zustand ? ZU Zustand ?
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
| | sei die Zustandsverteilung nach k Schritten. |
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.
