Exkursion: Stochastische Prozesse III - Matrizen-Multiplikation und Berechnungen mit dem GTR, Matheübungen

Matrizen-Multiplikation, Zustandsverteilung nach vielen Schritten, Berechnungen mit dem GTR, Grenzverhalten - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 23 Aufgaben in 6 Levels

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    Matrizen-Multiplikation

    Zwei quadratische Matrizen können miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder eine quadratische Matrix.

    Zum Multiplizieren zweier Matrizen müssen die Zeilenvektoren der ersten Matrix mit den Spaltenvektoren der zweiten Matrix multipliziert werden. Der Eintrag in der m-ten Zeile und n-ten Spalte der Produktmatrix ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus Zeile m der ersten Matrix und Spalte n der zweiten Matrix.

    Spezialfall: Insbesondere können auch Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden. Dies wird bei der Berechnung von Zustandsverteilungen interessant.

    Es gilt: Die Potenz einer stochastischen Matrix ist wieder eine stochastische Matrix.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 1
  • Führe die Matrix-Multiplikation durch.
    • A
    =
    0,5
    0,7
     
     
     
    0,9
    0,6
    B
    =
    2
    4
     
     
     
     
     
     
    1
    8
    A
    ·
    B
    =
     
     
     
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Stoff zum Thema
Wie funktioniert die Multiplikation von quadratischen Matrizen?
#720

Matrizen-Multiplikation

Zwei quadratische Matrizen können miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder eine quadratische Matrix.

Zum Multiplizieren zweier Matrizen müssen die Zeilenvektoren der ersten Matrix mit den Spaltenvektoren der zweiten Matrix multipliziert werden. Der Eintrag in der m-ten Zeile und n-ten Spalte der Produktmatrix ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus Zeile m der ersten Matrix und Spalte n der zweiten Matrix.

Spezialfall: Insbesondere können auch Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden. Dies wird bei der Berechnung von Zustandsverteilungen interessant.

Es gilt: Die Potenz einer stochastischen Matrix ist wieder eine stochastische Matrix.

Beispiel 1
Berechne die Produktmatrix aus A und B:
A
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
B
=
0,2
0,8
 
 
 
0,1
0,9
A
·
B
=
?
Beispiel 2
Ein stochastischer Prozess ist gegeben durch Übergangsmatrix U und Startzustand
 
v
0
U
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
v
0
=
1
0
Bestimme die Zustandsverteilung
 
v
3
 
auf zwei Methoden.
Was sind Grenzverteilung und Grenzmatrix in stochastischen Prozessen?
#721

Grenzverteilung und Grenzmatrix

Wenn sich ein stochastischer Prozess mit wachsender Zahl n an Wiederholungen stabilisiert, so erreicht der stochastische Prozess eine Grenzverteilung g, die sich durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix U nicht mehr ändert, d.h.:

U·g = g

Das Grenzverhalten wird auch durch die Grenzmatrix G beschrieben. Die Grenzmatrix wird mit dem GTR berechnet, indem für immer größer werdende n die Potenzen Un der Übergangsmatrix berechnet werden, bis sich ein stabilisierender Effekt ablesen lässt.

Das Grenzverhalten ist vom Startvektor abhängig, wenn der stochastische Prozess absorbierende Zustände enthält. Ansonsten gibt es nur genau eine Grenzverteilung.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess ist gegeben durch Übergangsmatrix U und Startzustand
 
v
0
U
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
v
0
=
1
0
Bestimme die Grenzmatrix G und die Grenzverteilung
 
g
 
:
G
=
?
g
=
?
Beispiel 2
Überprüfe, ob die gegebenen Verteilungen Grenzverteilungen der Matrix U sind:
U
=
0,5
0,2
0,3
 
 
 
0,1
0,9
0
 
 
 
 
0
0,4
0,6
g
1
=
0,254254
0,189111
0,556635
g
2
=
0,148148
0,740741
0,111111
Was ist eine inverse Matrix und welche Eigenschaft ergibt sich bei ihrer Multiplikation mit der Ursprungsmatrix?
#729

Inverse Matrix

Die inverse Matrix zu einer quadratischen Matrix U wird mit U−1 bezeichnet.

Das Produkt aus einer Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix, die in der Diagonale die Einträge 1 und ansonsten nur die Einträge 0 besitzt.

Mit einer inversen Matrix können Zustandsverteilungen in der Vergangenheit berechnet werden, denn aus vk+1 = U · vk folgt: vk = U−1 · vk+1

Beispiel
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme mit Hilfe der inversen Matrix die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.