4.7 Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung, Matheübungen

Terme und Gleichungen - Lehrwerk Mathe.Logo (5.-8. Klasse) - 25 Aufgaben in 7 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 1 in Level 4
  • Verlängern-verkürzen.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Gegeben ist das gleichschenklige Trapez ABCD mit den Grundseiten 
    AB
     und 
    CD
    .
     Es gilt: 
    AB
     
    ||
     
    CD
    ,
        
    AB
    =
    10 cm,
        
    CD
    =
    5 cm
        und 
    h
    =
    4 cm.
     
    Es entstehen neue Trapeze 
    A
    n
    B
    n
    CD,
     wenn man 
    AB
     von A und B aus um jeweils 
    0,5x cm
     verkürzt und gleichzeitig die Höhe h nur nach unten um 
    0,5x cm
     verlängert.
    • Zeichne das Trapez ABCD und ein neues Trapez A1B1CD für x = 2.
    Für die neue Länge gilt: 
    A
    1
    B
    1
    =
     ▉ 
     
    cm
    Für die neue Höhe gilt: 
    h
    1
    =
     ▉ 
     
    cm
    • Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD sowie des Trapezes A1B1CD.
    A
    ABCD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    A
    A
    1
    B
    1
    CD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    • Welche Werte kann x annehmen? Finde die Intervallgrenzen.
     ▉ 
     
    ≤
     
    x
     
    <
     
    		 ▉ 
    • Berechne den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCD in Abhängigkeit von x.
    A
     
    x
    =
     ▉ 
    ·
     
    x
    2
    +
    		 ▉ 
     
    ·
    x
    +
    		 ▉ 
     
    cm
    2
    • Unter den Trapezen AnBnCD hat das Trapez A0B0CD den größten Flächeninhalt. Berechne den zugehörigen Wert für x und gib den maximalen Flächeninhalt an.
    A
    max
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
        
        
    für x
    =
    		 ▉ 
    • Berechne für welchen Wert von x das Rechteck A2B2CD entsteht und gib seinen Flächeninhalt an.
    x
    =
    		 ▉ 
    A
    A
    2
    B
    2
    CD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    Schritt 1 von 11
    Zeichne das ursprüngliche Trapez und das neue Trapez für 
    x
    =
    2
     in dein Heft. Für die Seitenlängen des neuen Trapezes gilt:
    Neue Länge 
    A
    1
    B
    1
    =
     
    cm
    Neue Höhe 
    h
    1
    =
     
    cm
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Stoff zum Thema
Wie berechnet man die neue Länge einer Strecke a, wenn sie um x verlängert oder verkürzt wird?
#688
Verändert sich die Länge einer Seite \(a\) um den Parameter \(x,\) so unterscheidet man die beiden Fälle:
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  • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verkürzt, so beträgt die neue Länge \(\displaystyle a-x.\)
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen