1.1 Funktionenscharen, Matheübungen

Funktionenscharen, Stammfunktionen und weitere Ableitungsregeln - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 34 Aufgaben in 8 Levels

Hilfe
  • Hilfe zur Aufgabe

    Eine waagrechte Tangente hat die Steigung null. Gesucht ist also die Anzahl der verschiedenen Nullstellen der ersten Ableitung.

  • Stoff zum Level

    Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

    D = b² − 4ac

    • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
    • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
    • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Ermittle die Anzahl von Stellen mit waagrechter Tangente in Abhängigkeit von \(k\text{.}\)
  • Zwischen­schritte aktivieren
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • Gegeben ist \(\displaystyle f_k(x)=kx^3+3x^2-3x\) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}\) und \(\displaystyle k\ne0\text{.}\)

    Ergänze die Tabelle zur Anzahl der Stellen, an denen der Graph eine waagrechte Tangente hat. Trage die Grenzzahl in jeder Zeile erneut ein.

    BedingungAnzahl der Stellen
    \(\displaystyle k<\)
    \(\displaystyle k=\)
    \(\displaystyle k>\)
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Stoff zum Thema
Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?
#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Wie bestimmt man den Parameterwert k für den Graphen einer Funktionenschar?
#1205
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Was ist eine Funktionenschar und wie berechnet man sie?
#690

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?
#1206
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik