Funktionenscharen, Matheübungen

Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen einer Funktionenschar; Ableitung in Abhängigkeit vom Scharparameter; charakteristische Punkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Scharparameter. - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
    1. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
    2. diese in die zweite Ableitung einsetzen: ergibt sich ein positiver Wert, liegt ein Minimum vor; ergibt sich ein negativer Wert, liegt ein Maximum vor
    3. evtl. die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel prüfen, falls in (2) der Wert 0 herauskommt

  • Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

    Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Scharparameter a. Gib "!" in den nicht benötigten Feldern ein, wenn es weniger Extremstellen gibt als angeboten.

  • f
    a
    x
    =
    x
    3
    −
    6a
     
    x
    2
    +
    9a
    2
    x
    −
    7a
    a
    >
    0
    Minimum bei x
    =
    Maximum bei x
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen
Lernvideo

Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Kanal: Mathegym
Was ist eine Funktionenschar und wie berechnet man sie?
#690

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2
Beispiel 2
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
−
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Wie bestimmt man den Parameterwert k für den Graphen einer Funktionenschar?
#1205
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?
#1206
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik
Was ist eine Ortskurve und wie bestimmt man ihre Gleichung?
#691

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
−
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a