Funktionsuntersuchung - gebrochen-rationale Funktionen, Matheübungen

Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte

Hilfe
  • Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
    • maximale Definitionsmenge
    • Punkt- und Achsensymmetrie
    • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
    • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
    • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
    • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
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Untersuche f so weit, dass du den Graphen skizzieren kannst.

  • f
     
    x
    =
    2x
    −
    3
    5
    −
    3x
    Schritt 1/5
    • max. Definitionsmenge
    ℝ
       
    ℝ \ {1,5}
       
    ℝ \ {−1,5}
       
    ℝ \ {0,6}
       
    ℝ \ {
     
    5
    3
     
    }
     
    • Symmetrie
    bzgl. y-Achse
       
    bzgl. Ursprung
       
    keine Symmetrie zum Koordinatensystem
       
    • Nullstelle(n)
    x =   
     
    2
    3
       
     
    1,5
       
     
    −
    2
    3
       
     
    −
    1,5
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
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Was sind die wesentlichen Aspekte einer vollständigen Funktionsuntersuchung?
#481
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel 1
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.
a)
    
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
b)
    
f
 
x
=
0,5x
−
3
+
2
x
−
1
Hinweis: b) ohne Wendpunkt, Krümmung und Wertemenge
Beispiel 2
Diskutiere hinsichtlich maximaler Definitionsmenge, Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten in der Umgebung der Definitionslücke, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.
a) 
f
 
x
=
x
2
−
8x
+
16
x
3
−
x
2
−
12x
b) 
f
 
x
=
x
2
+
x
x
−
1

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