Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung, Matheübungen

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Satz von Vieta, Substitution, Polynomdivision - Lehrplan - 18 Aufgaben in 4 Levels

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  • Hilfe zum Thema
    Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man
    • eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
    • x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
    • eine binomische Formel anwendet.
    Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 4
  • Aus welchen Faktoren setzt sich der vollständig faktorisierte Term zusammen? Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" oder "-a/b" an.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • 4x
    3
    −
    8x
    2
    −
    3x
    +
    9
    =
     ▉ 
     
    x
    −
    		 ▉ 
    		 ▉ 
     
    x
    +
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 4
    f(x) besitzt die Nullstelle   
     
    x
    =
    1
     
       
     
    x
    =
    −
    1
     
       
     
    x
    =
    2
     
       
     
    x
    =
    −
    2
    und ist daher durch   
     
    x
    −
    1
     
       
     
    x
    +
    1
     
       
     
    x
    −
    2
     
       
     
    x
    +
    2
     
       teilbar
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Wie kann ein quadratischer Term faktorisiert werden?
#319
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Wie funktioniert Polynomdivision und welchen Grad hat das Ergebnispolynom?
#318
Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Wenn man ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad m<n teilt, ist das Ergebnis ein Polynom vom Grad n−m.
Beispiel
1
2
 
x
3
−
4
:
x
−
2
=
?
Wie kann man Polynome vom Grad 3 oder höher faktorisieren?
#321
Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man
  • eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
  • x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
  • eine binomische Formel anwendet.
Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.