Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
#1524
Ganzrationale Funktion:
\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)
Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient
Nullstellen und Vielfachheit:
In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)
\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten
Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad.
ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel
gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse
Verhalten im Unendlichen:
Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:
\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung
\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen
\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben
\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten
Symmetrie:
achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen
punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen
Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)
