Ganzrationale Funktionen - Grad, Koeffizienten, Verlauf im Unendlichen, Verlauf nahe 0, Matheübungen

Verhalten im Unendlichen; Skizze des Graphen anhand von Grad und Leitkoeffizient - G8 Lehrplan - 39 Aufgaben in 7 Levels

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    Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt).

    Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 8 in Level 1
  • Gib den Grad der ganzrationalen Funktion an bzw. "!", wenn es sich um keine ganzrationale Funktion handelt.
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    • f
     
    x
    =
    x
    +
    1
    ·
    2
    −
    x
    2
    ist vom Grad
Beispiel
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Ganzrationale Funktionen
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Ganzrationale Funktionen

Kanal: Mathegym
Wie bestimmt man den Grad einer ganzrationalen Funktion in Summen- und Produktform?
#314
Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt).

Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren.

Beispiel
Bestimme den Grad von
a) 
f
 
x
=
1
−
x
+
4x
5
−
1
2
 
x
3
b) 
f
 
x
=
1
−
x
2
·
1
+
2x
−
3x
3
Was ist eine ganzrationale Funktion und welche Begriffe sind damit verbunden?
#311
Der Term f(x) einer ganzrationalen Funktion (synonym: Polynomfunktion) besteht aus einer Summe von x-Potenzen, denen reelle Faktoren vorangestellt sind, wie z.B.


½ x³ + 3x² − 5

Die höchste x-Potenz bestimmt den Grad, im Beispiel oben beträgt dieser 3. Die vor den x-Potenzen stehenden reellen Faktoren (½; 3; -5) nennt man Koeffizienten. Taucht eine x-Potenz gar nicht auf, so ist der entsprechende Koeffizient 0.

Beispiel
f(x)
=
4
7
−
x
2
+
2
 
x
4
Gib den Grad und die auftretenden Koeffizienten ai an (mit ai ist der Faktor vor xi gemeint)
Was bedeutet die faktorisierte Form ganzrationaler Funktionen und wie wird sie in Summenform umgewandelt?
#313
Ein ganzrationaler Term kann evtl. in faktorisierter Form vorliegen, d.h. als Produkt von mehreren Teiltermen (jeder davon ebenfalls ganzrational). Um die übliche Darstellung zu erhalten (Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient), muss man die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist das Distributivgesetz ("jeder mit jedem") anzuwenden.
Beispiel
f
 
x
=
1
2
 
x
−
3
·
x
+
1
3
2
. Multipliziere aus und gibt die Koeffizienten 
a
0
, a
1
, a
2
 usw. an, die vor 
x
0
, x
1
, x
2
 usw. stehen.
Wie bestimmt man das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion an den Rändern?
#312
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
  • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
  • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
  • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten
Welche Summanden bestimmen das Verhalten einer ganzrationalen Funktion nahe der y-Achse?
#487
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheiden die Summanden mit den niedrigsten x-Potenzen, wie sich die Funktion in der Nähe der y-Achse verhält.
Beispiel
Wie verhalten sich die Funktionsgraphen in der Umgebung der y-Achse?
f
 
x
=
x
4
−
x
2
+
1
2
 
x
−
2
g
 
x
=
2x
5
−
x
4
−
x
2
Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
#1524

Ganzrationale Funktion:

\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)

Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient

Nullstellen und Vielfachheit:

In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)

\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten

Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad. 

ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel

gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse

Verhalten im Unendlichen:

Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:

\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung

\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen

\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben 

\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten

Symmetrie:

achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen

punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen

Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)

Beispiel

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Er verläuft von links unten nach rechts unten.

Gib eine passende Funktionsgleichung an.