Ganzrationale Funktionen - mehrfache Nullstellen, Matheübungen

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Faktorisiere zunächst den linken Term der Gleichung. Dazu benötigt man die binomischen Formeln. Verwende den Satz vom Nullprodukt

Löse die Gleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein. Die kleinste zuerst. Falls die Gleichung weniger als drei Lösungen hat, gib jeweils ! in der letzten Zeile ein.

  • x
    3
    −
    6x
    2
    +
    9x
    =
    0
    x
    1
    =
     
    (kleinste Lösung) mit Vielfachheit
     
    x
    2
    =
     
    mit Vielfachheit
     
    x
    3
    =
     
    mit Vielfachheit
     
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Ganzrationale Funktionen (Teil 2)
Lernvideo

Ganzrationale Funktionen (Teil 2)

Kanal: Mathegym
Was besagt der Satz vom Nullprodukt und was sind Vielfachheiten von Lösungen?
#693
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Was versteht man unter der Vielfachheit einer Nullstelle?
#315
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2
Wie beeinflusst die Vielfachheit einer Nullstelle das Verhalten des Graphen?
#316
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").