Ganzrationale Funktionen - Nullstellen und Faktorisierung, Matheaufgaben

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Satz von Vieta, Substitution, Polynomdivision

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Löse durch Polynomdivision. (Gib Potenzen in der Form a^b ein.)

Die Funktion f mit
f(x)
=
x
3

−
3x
2

−
x

+
3

hat die Nullstelle
x
0

=
1

Bestimme die weiteren Nullstellen.
x
1

=

x
2

=

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Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)

Kanal: Mathegym

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Faktorisierung von Polynomen (Teil 2)

Kanal: Mathegym

Wie kann die Polynomdivision zur Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades oder höher eingesetzt werden?

#783

Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

Erraten einer Nullstelle x₀
Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.
Polynomdivision
Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x₀) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
f(x)=q(x)·(x−x₀)
Lösen der quadratischen Gleichung
Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man z.B. mit der pq-Formel bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).

Beispiel

Die Funktion f mit

f(x)

−

hat die Nullstelle

Bestimme die weiteren Nullstellen.

die kleinere

die größere

Wie funktioniert Polynomdivision und welchen Grad hat das Ergebnispolynom?

#318

Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Wenn man ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad m<n teilt, ist das Ergebnis ein Polynom vom Grad n−m.

Beispiel

−

Bei einer ganzrationalen Funktion entscheiden die Summanden mit den niedrigsten x-Potenzen, wie sich die Funktion in der Nähe der y-Achse verhält.

Beispiel

Wie verhalten sich die Funktionen in der Umgebung der y-Achse?

f(x)

−

g(x)

−

Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?

#486

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Beispiel

Löse die Gleichung

−

Was ist der Vorteil eines faktorisierten Funktionsterms?

#485

Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x) [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.

Beispiel

−

. Ermittle alle Nullstellen.

Wie kann ein quadratischer Term faktorisiert werden und welche Rolle spielen dabei die Lösungen der Nullgleichung?

#638

Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (pq-Formel!) ab:

Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).
Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².
Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.

Beispiel

Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:

−

Wie kann man Polynome vom Grad 3 oder höher faktorisieren?

#639

Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man

eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
eine binomische Formel anwendet.

Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der pq-Formel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.