Exponentielles Wachstum/Exponentialfunktion
Unterscheidung zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsvorgängen, Parameter exponentiellen Wachstums, Exponentialfunktion (inkl. Graph), Bestimmung von Anfangsbestand und Wachstumsfaktor
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Exponentielles Wachstum (Teil 1)
Kanal: Mathegym
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Exponentielles Wachstum (Teil 2)
Kanal: Mathegym
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).
Im Fall b > 0
- steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
- fällt der Graph für 0 < a < 1
Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.
Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von f(x) | = |
|
(b) steigt der Graph von f(x) | = |
|
Verdoppelungszeit tD nennt man die (bei exponentiellem Wachstum konstante) Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt.
Halbwertszeit tH nennt man die (bei exponentieller Abnahme konstante) Zeit, in der sich der Bestand halbiert.
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
- a > 0 der Wachstumsfaktor und
- b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Schreibe in der Form
| = |
|
| = |
|
Beispiel 2
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung
. Bestimme a und b.
y | = |
|
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
- b>0 und a>1:
der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a) - b>0 und 0<a<1:
der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a) - g(x) = −b·ax:
der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt - h(x) = b·(1/a)x:
der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
| = |
|
| = |
|
| = |
|
| = |
|
| = |
|
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
