Quadratische Gleichungen - Schnittprobleme
Graphische Interpretation quadratischer Gleichungen; Bestimmung der Schnittpunkte von Parabeln bzw. Parabel und Gerade; Parameterbestimmung in Abhängigkeit von der Anzahl gemeinsamer Punkte
Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
| = |
|
Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.
Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:
- D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
- D = 0 ⇔ eine Berührstelle
- D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Eine quadratischen Funktion kann maximal zwei Nullstellen haben. Deren Bestimmung läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus. Je nachdem, in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, wendet man die Lösungsformel (Mitternachtsformel oder p-q-Formel) an oder wählt ein leichteres Verfahren:
- Scheitelpunktform: forme die Gleichung um in (x+...)2=... und radiziere dann auf beiden Seiten
- Nullstellenform: die Nullstellen können ohne weitere Rechnung abgelesen werden
Die Schnitt- und Berührpunkte (gemeinsame Punkte) zweier Graphen Gf und Gg ermittelt man durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme, also f(x) = g(x). Setze die Lösung der Gleichung in f(x) oder g(x) ein, um den zugehörigen y-Wert zu ermitteln.
Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.
Beispiel
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln p und q mit folgenden Gleichungen:
| = |
|
| = |
|
