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Graphen verschieben, spiegeln und strecken, Mathe-Übungen
Veränderungen des Funktionsterms und Auswirkungen auf den Funktionsgraphen; Symmetrien anhand des Funktionsterms erkennen. - Lehrplan für 11.-12. Klasse
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Hilfe
Beispielaufgabe
Sei G
f
der Graph einer Funktion f.
−f(x)
bewirkt eine Spiegelung von G
f
an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
f(−x)
bewirkt eine Spiegelung von von G
f
an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
G
h
entsteht aus G
f
durch Spiegelung an der x-Achse. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht ein. Variablenpotenzen sind, wenn nicht anders vorgegeben, in der Form "x^n" zu schreiben.
Zwischenschritte aktivieren
f
x
=
x
4
−
2
h
x
=
Notizfeld
Notizfeld
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+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Funktionsgraphen verschieben
Kanal: Mathegym
Lernvideo
Funktionsgraphen strecken und stauchen
Kanal: Mathegym
Sei G
f
der Graph einer Funktion f und a > 0.
a·f(x)
bewirkt eine Streckung von G
f
in y-Richtung mit dem Faktor a. Eine echte Streckung liegt im Fall
a > 1
vor, im Fall
0 < a < 1
erhält man eine Stauchung.
f(a·x)
bewirkt eine Streckung von G
f
in x-Richtung mit dem Faktor 1/a. Eine echte Streckung liegt im Fall
0 < a < 1
vor, im Fall
a > 1
handelt es sich um eine Stauchung.
Beispiel
G
f
soll jeweils mit Faktor 2 in y-Richtung bzw. in x-Richtung gestreckt werden. Wie lautet der dazu passende Funktionsterm?
a)
f
x
=
1,5
x
−
3
2
+
1
b)
f
x
=
2
x
+
3
−
1
c)
f
x
=
3
·
0,5
x
+
2
Sei G
f
der Graph einer Funktion f und c > 0.
f(x) ± c
bewirkt eine Verschiebung von G
f
um c LE nach oben bzw. unten.
f(x ± c)
bewirkt eine Verschiebung von G
f
um c Einheiten nach links bzw. rechts. Man ersetzt also alle x-Variablen im Term durch
(x + c)
bzw. durch
(x − c)
.
Beispiel
f
x
=
3x
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph
gegenüber G
f
um eine Einheit nach rechts verschoben ist?
gegenüber G
f
um eine Einheit nach unten verschoben ist?
Wird der Graph einer Funktion in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben, so ist die Reihenfolge der beiden Operationen für das Ergebnis entscheidend. Praktisch bedeutet das, eine geeignete Klammer zu setzen, wenn zuerst die Verschiebung erfolgt.
Beispiel
f
x
=
2
x
−
5
G
f
soll mit Faktor
1
3
in y-Richtung gestreckt und um 3 LE nach oben verschoben werden.
a) Wie lautet der zugehörige Funktionsterm, wenn zuerst die Streckung, dann die Verschiebung erfolgt?
b) …bei umgekehrter Reihenfolge?
Sei G
f
der Graph einer Funktion f.
−f(x)
bewirkt eine Spiegelung von G
f
an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
f(−x)
bewirkt eine Spiegelung von von G
f
an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).
Beispiel
f
x
=
1
−
3x
2
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph gegenüber G
f
an der x-Achse bzw. an der y-Achse gespiegel ist?
h ( x ) =
G
h
geht aus G
f
hervor durch
f ( x + a )
Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a
Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0
Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x )
Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0
Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x )
Spiegelung an der y-Achse
Beispiel 1
Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.
Beispiel 2
f
x
=
1
3
·
x
2
−
1,5
h
x
=
x
−
3
2
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?
Beispiel
f
x
=
2
−
x
2
x
+
3
G
f
wird nun an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 1/2 gestaucht und um 1 Einheit nach links verschoben. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht an.
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