Graphen verschieben/strecken/spiegeln, Mathe-Übungen

Verschiebung des Graphen, angewendet auf gebrochen-rationale, quadratische, trigonometrische, ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen. - Funktionen-Training kompakt

Hilfe
    • y = x²:
      Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
    • y = (x + 2)²:
      Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
    • y = x² + 2:
      Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
    • y = (x − 1)² + 3:
      Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
    Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.

Welche Funktionsgleichung beschreibt den Graph?

  • graphik
    y
    =
    2
     
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  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
  • y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
Beispiel
Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:
graphik
y
=
sin
x
−
?
−
?
Sei Gf der Graph einer Funktion f und c > 0.
  • f(x) ± c
    bewirkt eine Verschiebung von Gf um c LE nach oben bzw. unten.
  • f(x ± c)
    bewirkt eine Verschiebung von Gf um c Einheiten nach links bzw. rechts. Man ersetzt also alle x-Variablen im Term durch (x + c) bzw. durch (x − c).
Beispiel
f
 
x
=
3x
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph
  • gegenüber Gf um eine Einheit nach rechts verschoben ist?
  • gegenüber Gf um eine Einheit nach unten verschoben ist?
Sei Gf der Graph einer Funktion f.
  • −f(x)
    bewirkt eine Spiegelung von Gf an der x-Achse, d.h. man multipliziert dazu den gesamten Funktionsterm mit −1.
  • f(−x)
    bewirkt eine Spiegelung von von Gf an der y-Achse, d.h. man ersetzt jede x-Variable im Term durch (−x).
Beispiel
f
 
x
=
1
−
3x
2
2x
+
1
Wie muss der Funktionsterm von f abgewandelt werden, damit der zugehörige Graph gegenüber Gf an der x-Achse bzw. an der y-Achse gespiegel ist?
Sei Gf der Graph einer Funktion f und a > 0.
  • a·f(x)
    bewirkt eine Streckung von Gf in y-Richtung mit dem Faktor a. Eine echte Streckung liegt im Fall a > 1 vor, im Fall 0 < a < 1 erhält man eine Stauchung.
  • f(a·x)
    bewirkt eine Streckung von Gf in x-Richtung mit dem Faktor 1/a. Eine echte Streckung liegt im Fall 0 < a < 1 vor, im Fall a > 1 handelt es sich um eine Stauchung.
Beispiel
G
f
 soll jeweils mit Faktor 2 in y-Richtung bzw. in x-Richtung  gestreckt werden. Wie lautet der dazu passende Funktionsterm?
a) 
f
 
x
=
1,5
 
x
−
3
2
+
1
b) 
f
 
x
=
2
x
+
3
−
1
c) 
f
 
x
=
3
·
0,5
x
+
2
h ( x ) = Gh geht aus Gf hervor durch
f ( x + a ) Verschiebung um |a| Einheiten nach rechts (a < 0) bzw. links (a > 0)
f ( x ) + a Verschiebung um |a| Einheiten nach oben (a > 0) bzw. unten (a < 0)
a · f ( x ), a > 0 Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (a < 1) in y-Richtung
− f ( x ) Spiegelung an der x-Achse
f ( a · x ), a > 0 Streckung mit Faktor 1/a in x-Richtung
f ( −x ) Spiegelung an der y-Achse
Beispiel 1
Wie entsteht der Graph von h aus dem Graphen von f? Gib einen passenden Term für h an.
graphik
Beispiel 2
f
 
x
=
1
3
·
2
x
−
1,5
h
 
x
=
2
x
−
3
+
1
Welche Verschiebung(en)/Streckung(en)/Spiegelung(en) sind am Graphen von f durchzuführen, um den Graphen von h zu erhalten?

Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)

  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)

  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b

Wird der Graph einer Funktion in dieselbe Richtung gestreckt und verschoben, so ist die Reihenfolge der beiden Operationen für das Ergebnis entscheidend. Praktisch bedeutet das, eine geeignete Klammer zu setzen, wenn zuerst die Verschiebung erfolgt.
Beispiel
f
 
x
=
2
x
−
5
G
f
 soll mit Faktor 
1
3
 in y-Richtung gestreckt und um 3 LE nach oben verschoben werden.
a) Wie lautet der zugehörige Funktionsterm, wenn zuerst die Streckung, dann die Verschiebung erfolgt?
b) …bei umgekehrter Reihenfolge?
Beispiel
f
 
x
=
2
−
x
2
x
+
3
Gf wird nun an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 1/2 gestaucht und um 1 Einheit nach links verschoben. Gib den zugehörigen Funktionsterm vereinfacht an.