Integral - Berechnung mit Stammfunktion, Matheübungen

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - G8 Lehrplan - 67 Aufgaben in 13 Levels

Hilfe
  • Stoff zum Level
    Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

    ∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

    Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

    Spezialfall n = -1:

    ∫ 1/x dx = ln |x| + C

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 9
  • Berechne. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • 3
    −
    2
    x
    3
    −
    2
    x
    −
    4
    2
     
    dx
    ≈
     
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 3
    3
    −
    2
    x
    3
    −
    2
    x
    −
    4
    2
     
    dx
    =
     
    x
    +
    3
    −
    2
    Brüche in der Form a/b eingeben
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Sieh dir vor dem Anzeigen der Lösung die Hilfe zu dieser Aufgabe an.
Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Wie zeigt man, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist?
#1523

Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion:

Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn für alle \(x\) eines Intervalls \(I\) gilt: \(F'(x)=f(x).\)

Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion und Integral:

Für das Integral \(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\) gilt dann:

\(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).\)

Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.
Beispiel 2
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.