Integral - Berechnung mit Stammfunktion, Matheübungen

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 52 Aufgaben in 9 Levels

Hilfe
  • Stoff zum Level

    Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

    F bzw. GF f (x)
    streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
    streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
    keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Welcher der vier roten Graphen gehört zu einer Stammfunktion F von f?
    • graphik
     
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Wie zeigt man, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist?
#1523

Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion:

Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn für alle \(x\) eines Intervalls \(I\) gilt: \(F'(x)=f(x).\)

Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion und Integral:

Für das Integral \(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\) gilt dann:

\(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).\)

Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x