Integral - Berechnung mit Stammfunktion, Matheübungen

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 52 Aufgaben in 9 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Im Zähler muss die Ableitung des Nenners stehen.

  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

    f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

  • Tipp zum Level
    Prüfe für eine Stammfunktion mit Logarithmus, ob der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 8
  • Ergänze, so dass F Stammfunktion von f ist. Brüche in der Form "a/b" eingeben, x-Potenzen in der Form "x^n".
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • \(\displaystyle f(x)=\frac{3x}{1-x^{2}}\)

    \(\displaystyle F(x)= ▉ \cdot\ln\left| ▉ \right|\)Es können keine passenden Zahlen eingesetzt werden.
    Schritt 1 von 3

    \(\displaystyle \int \colorbox{yellow}{$\frac{g'(x)}{g(x)}$}\,\mathrm{d}x=\ln\left|g(x)\right|+C\)

    Welcher Term müsste im Zähler des Bruchterms \(\displaystyle f(x)\) stehen, damit die Formel oben angewendet werden kann?

    Zählerterm:

Beispiel
Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Wie zeigt man, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist?
#1523

Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion:

Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn für alle \(x\) eines Intervalls \(I\) gilt: \(F'(x)=f(x).\)

Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion und Integral:

Für das Integral \(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\) gilt dann:

\(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).\)

Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x