Integral - Flächenberechnung, Matheübungen

Bestimmung von Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Graphen, auch in Abhängigkeit von Parametern

Hilfe
  • Integrand = Differenz der Funktionsterme "oben minus unten" (zusammengefasst)
  • Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.

Berechne den markierten Flächeninhalt durch Integration.

  •  Zwischenschritte aktiviert
    Für diese Aufgabe müssen Zwischenschritte aktiviert sein
  • graphik
    Schritt 1/3
    Welcher Ansatz stimmt? Achtung: um das Integral stehen keine Betragstriche!
     
    A
    =
    1,35
    −
    3
    1,35
    −
    −
    0,75x
     
    dx
     
    A
    =
    1,35
    −
    3
    −
    0,75x
    −
    1,35
     
    dx
     
    A
    =
    4
    0
    −
    0,75x
    −
    1,35
     
    dx
     
    A
    =
    4
    0
    1,35
    −
    −
    0,75x
     
    dx
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FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung
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FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung

Kanal: MathemaTrick
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkte in einem Intervall?
#578
Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.
Wie bestimmt man die Fläche unter einem Graphen ohne Schnittpunkte mit der x-Achse?
#577
Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.
Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
#569
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
  1. Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
  2. Ermittle eine Stammfunktion D von d.
  3. Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
  4. Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
  5. Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit 
p
 
x
=
x
2
+
1
 und 
q
 
x
=
−
x
2
+
9
 eingeschlossen wird.

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