Integral - Gesamtänderung einer Größe, Matheübungen

Bedeutung des Integrals über eine Änderungsrate im Sachzusammenhang; Flächenbilanz als Bestandsänderung; graphisch oder rechnerisch von der zeitlichen Änderungsrate auf die Gesamtänderung schließen. - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 16 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Thema

    Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

    Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Entscheide jeweils, welche Bedeutung das Integral besitzt.
    • Die Funktion 
    d:
     
    t
     
    ↦
     
    d
     
    t
     beschreibt in ihrer Definitionsmenge 
    0;
     
    120
     die Durchflussrate von Erdgas von einer Pipeline in einen Gasspeicher. Dabei ist t die Zeit in Minuten seit Beobachtungsbeginn und 
    d
     
    t
     die Durchflussrate, die in 
    m
    3
    min
     gemessen wird.
    Dann entspricht das Integral 
    30
    0
    d
     
    t
     
    dt
     …
    der Durchflussrate in 
    m
    3
     nach 30 Minuten.
    einer Zeitspanne von einer halben Stunde.
    der Gasmenge in 
    m
    3
    ,
     die in der ersten halben Stunde in den Speicher gelangt.
    der Geschwindigkeit in 
    m
    3
    min
    ,
     mit der das Gas nach 30 Minuten in den Speicher strömt.
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Sieh dir vor dem Anzeigen der Lösung die Hilfe zu dieser Aufgabe an.
Stoff zum Thema (+Video)
Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)
Lernvideo

Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)

Kanal: Mathehoch13
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.
Beispiel 2
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.