Integral - Gesamtänderung einer Größe, Matheübungen

Bedeutung des Integrals über eine Änderungsrate im Sachzusammenhang; Flächenbilanz als Bestandsänderung; graphisch oder rechnerisch von der zeitlichen Änderungsrate auf die Gesamtänderung schließen. - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 11 Aufgaben in 3 Levels

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    Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

    Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Lies aus dem Verlauf der Änderungsrate die Gesamtänderung ab.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • In der Woche der Demokratie bilden die Schülerinnen und Schüler eines Gymnasiums ein "Peace-Zeichen", das aus der Vogelperspektive mithilfe einer Drohne fotografiert werden soll. Die Drohne startet vom Boden aus und bewegt sich ausschließlich in vertikaler Richtung (also senkrecht nach oben bzw. nach unten). Die Abbildung zeigt den Graphen der Vertikalgeschwindigkeit v bis zu dem Zeitpunkt, an dem die Drohne ihre Zielhöhe erreicht hat, aus der sie die Fotos schießen soll.
    graphik
    Ermittle anhand der Abbildung:
    die Zielhöhe der Drohne:
     ▉ 
     
    m
    die Gesamtlänge der Strecken, die die Drohne insgesamt zurückgelegt hat:
     ▉ 
     
    m
    Schritt 1 von 4
    Wähle jeweils (gegebenenfalls mehrere) korrekte Antworten aus.
    Welcher der folgenden Terme muss zur Ermittlung der Zielhöhe berechnet werden:
        
    15
    0
    v(t)
     
    dt
        
    8
    0
    v(t)
     
    dt
    +
    15
    10
    v(t)
     
    dt
        
    8
    0
    v(t)
     
    dt
    Bei der konkreten Berechnung gilt:
    Flächenstücke zwischen t-Achse und Graph oberhalb der t-Achse müssen positiv gewichtet werden.
    Flächenstücke zwischen t-Achse und Graph unterhalb der t-Achse müssen negativ gewichtet werden.
    Alle Flächenstücke zwischen t-Achse und Graph müssen betragsmäßig gewichtet werden.
  • keine Berechtigung
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Kanal: Mathehoch13
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.
Beispiel 2
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.