6.6 Kenngrößen bei binomialverteilten Zufallsgrößen, Matheübungen

Hinweis: Hier findest du auch Übungen zum Erwartungswert. - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 16 Aufgaben in 5 Levels

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  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level

    Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x1, x2, ..., xn:

    Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

    • Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
    • x=1/n · (x1 + x2 + ... + xn)

    Empirische Standardabweichung s:

    Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

    Berechnung der Standardabweichung:

    • Bestimme den Mittelwert x.
    • Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert xi der Datenreihe.
    • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
    • Addiere alle quadrierten Werte.
    • Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
    • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
    • Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x1 − x)2+ (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2 ] }

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1
  • Berechne Mittelwert und Standardabweichung der Datenreihe. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Ergebnis nach 10 Mal würfeln: 4     2     4     1     6     5     5     3     4     1
    Mittelwert
     
    x
    =
     
    		 ▉ 
    Standardabweichung s ≈
     
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 3
    Ergebnis nach 10 Mal würfeln: 4     2     4     1     6     5     5     3     4     1
    Mittelwert
     
    x
    =
     
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Stoff zum Thema
Was bedeuten und wie berechnet man das arithmetische Mittel und die Standardabweichung einer Datenreihe?
#699

Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x1, x2, ..., xn:

Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

  • Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
  • x=1/n · (x1 + x2 + ... + xn)

Empirische Standardabweichung s:

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

Berechnung der Standardabweichung:

  • Bestimme den Mittelwert x.
  • Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert xi der Datenreihe.
  • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
  • Addiere alle quadrierten Werte.
  • Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
  • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
  • Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x1 − x)2+ (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2 ] }

Beispiel
Am Schuljahresende blickt Anton auf seine Ergebnisse der 6 Mathearbeiten zurück: 2     2     4     2     1     3
Berechne Mittelwert und Standardabweichung
Was beschreiben Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße und wie berechnet man sie?
#700

Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße X:

Erwartungswert μ(X) (lies:"mü von X"):

Der Erwartungswert beschreibt den Mittelwert der Zufallsgröße, sprich die Zahl, die die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt.

Berechnung des Erwartungswertes:

  • Multipliziere jeden Wert xi von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=xi)
  • Addiere alle so erhaltenen Werte.
  • Als Formel: μ(X)=x1· P(X=x1)+ x2· P(X=x2) + ... + xn· P(X=xn)

Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")

Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist.

Berechnung der Standardabweichung:

  • Bestimme den Erwartungswert μ.
  • Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert xi den die Zufallsgröße annehmen kann.
  • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
  • Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
  • Addiere alle so erhaltenen Produkte.
  • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
  • Als Formel: σ(x) = √ Σ (xi − μ)2· P(X = xi)=√ [(x1 − μ)2· P(X = x1)+ (x2 − μ)2· P(X = x2) + ... + (xn − μ)2· P(X = xn)]

Beispiel
Paul hat sich ein Glücksspiel überlegt: Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Beim Würfeln einer Quadratzahl erhält der Spieler 5 Euro, ansonsten muss der Spieler 2 Euro zahlen. Lässt du dich auf das Spiel ein? Berechne Erwartungswert und Standardabweichung und interpretiere.
μ
 
X
=
?
σ
 
X
=
?
Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel

Die Zufallsgröße \(X\) sei binomialverteilt. Bestimme ...

a) ... \(n\) und \(\sigma\) für \(\mu=12\) und \(p=\frac{1}{4}\text{.}\)

b) ... \(n\) und \(p\) für \(\mu=40\) und \(\sigma=\sqrt{24}\text{.}\)

Beispiel

Das Diagramm beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\text{.}\) Bestimme \(p\text{.}\)

a) 

\((n=2)\)

b) 

\((n=4)\)