Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen in Normalenform, Matheübungen

Ebene durch drei Punkte, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, gegenseitige Lage Ebene - Ebene; Anwendungsaufgaben, die sich mit Hilfsebenen in Normalenform lösen lassen - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 36.
  • Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
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Ebene durch drei Punkte.

  • Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|5|1), B(3|2|1) und C(4|9|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
    E:
     
    9x
    1
    +
    x
    2
    −
    x
    3
    −
    =
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Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?
#687
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
 
n
=
−
1
−
1
4
 
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Wie überprüft man, ob ein Punkt P in einer Ebene E in Koordinatenform liegt?
#608
Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p1 | p2 | p3) in der Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0 = 0 auf Richtigkeit.
Wie erkennt man, ob eine Ebene E in Koordinatenform durch den Ursprung geht oder zu einer Achse bzw. Ebene parallel ist?
#609
E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 ist
  • Ursprungsebene (d.h. enthält den Ursprung des Koordinatensystems) genau dann, wenn n0 = 0.z.B. 3x1 + 2x2 − x3 = 0 [keine Konstante am Ende].
  • parallel zur x1-Achse genau dann, wenn n1 = 0.z.B. 2x2 − x3 + 5 = 0 [x1 kommt nicht vor].
  • parallel zur x1 x2-Ebene genau dann, wenn n1 = n2 = 0.z.B. 2x3 + 3 = 0 [x1 und x2 kommen nicht vor].
Für die anderen Koordinatenachsen und -ebenen analog.
Wie leitet man die Normalenform einer Ebene aus drei gegebenen Punkten ab?
#610
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?
#795
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.
Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?
#799
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.
Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?
#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
  2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
  3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
−
3x
3
+
9
=
0
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
h
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#798
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:
  • Sich schneidende Geraden g und h: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
  • Sich schneidende Gerade g und Ebene E: Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E von 90° (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig)
  • Sich schneidende Ebenen E und F: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)


Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt p wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.


Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.
Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen in Normalenform?
#611
Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  • Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
  • Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
    1. Setze z.B. x1 = λ.
    2. Löse z.B. die Gleichung von E nach x2 auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x3 = ....λ....
    3. Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x2=...λ...
    4. Schreibe die Ergebnisse für x1, x2 und x3 untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
E
:
x
1
−
2x
3
+
3x
3
−
5
=
0
F
:
2x
1
−
2x
2
+
x
3
−
1
=
0
G
:
−
3x
1
+
6x
2
−
9x
3
+
10
=
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen, wenn eine in Parameterform und die andere in Normalenform gegeben ist?
#612
Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  1. Setze F in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
  2. Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
  3. Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
 
1
0
2
+
μ
 
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
+
μ
 
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Wie kann man feststellen, ob zwei Ebenen parallel, senkrecht oder sich schneidend sind?
#778
Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
  • ... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
  • ... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.