Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen in Parameterform, Matheübungen

Ebene durch drei Punkte, Ebene durch zwei Geraden, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, Schnittwinkel - Lehrplan für 12. Klasse

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Beschreibe die Ebene E möglichst genau.

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Wie bestimmt man die Parameterform einer Ebene durch drei Punkte A, B und C?

#604

Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.

Beispiel

Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.

Wie legen zwei Geraden in Parameterform eine Ebene fest und wie bestimmt man deren Parameterform?

#605

Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie

sich in einem Punkt schneiden:

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h oder den Schnittpunkt als Aufpunkt der Ebene verwenden sowie die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h als Aufpunkt der Ebene verwenden. Da die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind, verwendet man den Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten beider Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Beispiel

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Die Ebene E enthält die Geraden g und h, die Ebene F die Geraden g und i. Gib für E und F jeweils eine Gleichung in Parameterform an.

Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Ebene E in Parameterform liegt?

#606

Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Ebene E liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.

Beispiel

Gegeben ist die Ebene E

−

Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.

Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und die Richtungsvektoren?

#607

Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn

sie durch den Ursprung geht und/oder
sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
sie parallel zu einer Achse verläuft.

Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn E die x₁-Achse ENTHÄLT) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.

Beispiel

Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:

−

Wie bestimmt man die Lagebeziehung und den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene im Raum?

#614

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g und E gleich.
Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

#798

Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

Sich schneidende Geraden g und h: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
Sich schneidende Gerade g und Ebene E: Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E von 90° (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig)
Sich schneidende Ebenen E und F: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt p wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Beschreibe die Ebene E möglichst genau.

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