Koordinatengeometrie im Raum - Gegenseitige Lage von Geraden, Matheübungen

Untersuchung, ob zwei Geraden identisch, (echt) parallel oder windschief sind oder sich schneiden. - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
    • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
    • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
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Die Richtungsvektoren der Geraden g und h sind nicht parallel. Untersuche, ob die beiden Geraden sich schneiden oder windschief sind und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. (Falls sich die Geraden nicht schneiden, gib für alle Koordinaten "!" ein.)

  • g
    :
    X
    =
    4
    −
    1
    9
    +
    t
    ·
    −
    3
    2
    3
     
         
     
    h
    :
    X
    =
    11
    −
    3
    4
    +
    t
    ·
    5
    −
    2
    −
    4
    Schnittpunkt:
     
    P
     
     
    |
     
     
    |
     
    Notizfeld
    Notizfeld
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Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden im Raum und wie erfolgt die rechnerische Ermittlung?
#597
Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.
  • Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
  • Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.
Beispiel
g
:
X
=
1
−
1
5
+
μ
·
−
3
4
2
 
     
 
h
:
X
=
1
3
−
2
+
μ
·
6
8
−
4
i
:
X
=
0
−
3
14
+
μ
·
1
−
2
1
 
     
 
k
:
X
=
−
2
3
7
+
μ
·
2
−
8
3
−
4
3
Untersuche, wie die Gerade g zu den anderen Geraden liegt.