Koordinatengeometrie im Raum - Kugel, Matheübungen

Kugelgleichung in Vektor- und Koordinatendarstellung, Lage eines Punktes (innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel), Lagebeziehung Kugel/Gerade und Kugel/Ebene, Bestimmung des Berührpunktes/ des Schnittkreises - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Gerade g. Der Abstand d von M zu g gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
    1. Im Fall d < r schneiden sich k und g in zwei Punkten. Die Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen von g in k.
    2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf g)
    3. Im Fall d > r haben k und g keine gemeinsamen Punkte.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme den Abstand, den die Gerade g vom Mittelpunkt der Kugel k hat sowie, falls gegeben, den Berührpunkt bzw. die Schnittpunkte.

  • k:
     
    x
    1
    −
    6
    2
    +
    x
    2
    −
    1
    2
    +
    x
    3
    +
    4
    2
    =
    7,5
    2
       
    g:
     
    X
    =
    5,5
    −
    5,5
    1
    +
    λ
     
    2
    1
    0
    d
    =
       
    S
    1
     
    |
     
     
    |
     
       
    S
    2
     
    |
     
     
    |
     
    Gib "!" für die Koordinaten des zweiten bzw. beider Punkte an, wenn es nur einen bzw. keine gemeinsamen Punkte gibt.
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Alle Punkte X auf der Kugel mit Mitelpunkt M und Radius r haben die Eigenschaft, dass der Verbindungsvektor von M zu X die Länge r hat. Entsprechend lässt sich die Kugelgleichung formulieren.
Beispiel
Gib eine Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(1|0|-2) und Radius 5 an.
Wie liegen eine Kugel und eine Ebene zueinander und wie bestimmt man den Berührpunkt oder Schnittkreis?
#1311
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Ebene E. Der Abstand d von M zu E gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und E, die Schnittmenge ist ein Kreis. Dessen Radius r' lässt sich mittels Pythagoras bestimmen: r²=d²+(r')²
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf E)
  3. Im Fall d > r haben k und E keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(1|−4|3) und dem Radius 
r
=
4,5
 sowie die Ebene 
E:
 
x
1
−
2x
2
+
5x
3
=
0.
 Stelle fest, ob k und E gemeinsame Punkte besitzen. Falls ja, bestimme den Berührpunkt bzw. Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises.
Wie liegen eine Kugel und eine Gerade zueinander und wie bestimmt man Berühr- oder Schnittpunkte?
#1316
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Gerade g. Der Abstand d von M zu g gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und g in zwei Punkten. Die Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen von g in k.
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf g)
  3. Im Fall d > r haben k und g keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(-5|3|2) und dem Radius 
r
=
12
 sowie die Gerade 
g:
 
X
=
1
−
4
3
+
λ
 
1
−
2
5
.
 
Ermittle, welchen Abstand der Kugelmittelpunkt M zur Geraden g hat und bestimme, soweit vorhanden, alle gemeinsamen Punkte von k und g.
Beispiel
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar Mb(1-b|1+b|8). Mb ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.