Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren, Matheübungen

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren, Linearkombination und Länge von Vektoren - Lehrplan für 12. Klasse

Berechne die Koordinaten des Vektors und dessen Betrag. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Gegeben sind die Punkte A(0|0) und B(4|4).
    AB
    =
    −
    −
    =
    AB
    =
    +
    =
     
    ≈
     
    (die grau gefärbten Eingabefelder werden nicht bewertet)
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Wie erkennt man die Lage eines Punktes P(p1 | p2 | p3) bezüglich der Achsen und Ebenen im Koordinatensystem?
#442
Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Wie lauten die Koordinaten der Spiegelpunkte von P(p1 | p2 | p3) an den Achsen und Ebenen des Koordinatensystems?
#443
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors von Punkt A nach Punkt B?
#444
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Wie addiert und subtrahiert man Vektoren geometrisch?
#1246

Vektoren addieren und subtrahieren

Geometrisch addiert man Vektoren, indem man ihre Pfeildarstellungen "Fuß an Spitze" aneinanderlegt. Die Reihenfolge der Pfeile ist dabei beliebig. Einen Vektor zu subtrahieren heißt, seinen Gegenvektor zu addieren.

Beispiel 1
Stelle 
AE
 als Vektorsumme dar.
graphik
Beispiel 2
A( 2 | 2 | -1 )
AC
=
0
−
1
−
1
 ; 
BC
=
2
−
3
5
B
=
?
Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
#445
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
graphik
Drücke 
AD
 als Linearkombination der Vektoren 
AB
,
 
AC
,
 
BS
,
 
DS
 und 
MS
 aus. Gib mehrere Lösungen an.
Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Punkten in der Ebene?
#790

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.

Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
#446
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7