Koordinatengeometrie im Raum - Skalarprodukt und Winkel, Matheübungen

Skalarprodukt zweier Vektoren, Orthogonalität, Winkel zwischen Vektoren, Innenwinkel im Dreieck - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Prüfe, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist.

  • A(1|0|−1), B(2|3|7), C(−2|2|0)
    Rechter Winkel in   
    A
       
    B
       
    C
    Nicht rechtwinklig
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Lernvideo

Skalarprodukt und Vektorprodukt

Kanal: Mathegym
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und welche Art von Ergebnis liefert es?
#616

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl (kein Vektor!).

Definiert wird es als Produkt ihrer Längen, multipliziert mit cos(α), wobei mit α der Winkel zwischen beiden Vektoren gemeint ist (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°).

Noch einfacher lässt es sich berechnen, indem man die Koordinaten beider Vektoren zeilenweise multipliziert und die Produkte addiert.

Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?
#617
Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel 1
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Beispiel 2

Bestimme k so, dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind.

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \]
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
#618
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Beispiel
v
=
1
−
3
4
 
     
 
w
=
0
7
−
8
 
     
 
∠
 
v
 
,
 
w
 
≈
 
?
 
°